Cirkels

cirkel

Hierboven zie je een voorbeeld van een cirkel. Het middelpunt is M.
Van een cirkel kun je een vergelijking opstellen. De algemene gedaante ziet er dan als volgt uit.:
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
Middelpunt is (a,b) en de straal is r.
De straal is de lengte van het lijnstukje vanaf het middelpunt M tot aan de cirkelrand. Die lengte reken je uit met pythagoras als dat punt op de cirkelrand een roosterpunt is.

In bovenstaand voorbeeld is de lengte van de straal makkelijk af te lezen nl. 3,5
M is (0,-1)
De cirkelvergelijking wordt dan:
x2 + (y+1)2= 12,25

Raaklijnen en cirkels

In het forum komen wel eens vragen over raaklijvergelijkingen aan crikels voor en hoe dat te doen. Met behulp van wat voorbeelden probeer ik dat te verduidelijken.
Elke raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar dat raakpunt. Dat betekent dat de rico raaklijn keer de rico straal gelijk moet zijn aan -1. Dit gegeven gebruik je vaak!
rico straal * rico raaklijn = -1

Voorbeeld
Stel de vergelijking op van de raaklijnen aan een cirkel c : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 169 in zijn snijpunten P en Q met de rechte a : x = 6.
Oplossing
Eerst maar een tekening van de situatie maken:

Eerst moeten we de snijpunten uitrekenen van a en c:
x = 6 invullen in c:
(6 - 1)2 + (y - 2)2 = 169
(y - 2)2 = 144
(y - 2) = 12 v (y - 2) = -12
y = 14 v y = -10 Dus de snijpunten zijn:
P(6,14) en Q(6,-10)

P en Q zijn tevens de raakpunten. Nu moeten we alleen nog de rico zien uit te rekenen van de raaklijnen die gaan door P en Q. Je weet dat de raaklijn altijd loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Dat betekent dat het product van de rico's gelijk moet zijn aan -1. Dus concreet:
rico MP * rico raaklijn door P = -1.
Nu eerste de rico van MP berekenen:
M(1,2) P(6,14): rico = 14-2/6-1 = 12/5
dus rico raaklijn door P: -5/12 (want: 12/5 * -5/12 = -1 !!)
De vergelijking van de raaklijn door P ziet er nu als volgt uit:
y = -5/12 x + b
P(6,14) invullen om b te berekenen:
14 = -5/12*6 + b
b = 161/2
Dus raaklijnvergelijking door P:
y = -5/12 x + 161/2

Hetzelfde verhaal in het kort voor de raaklijnvergelijking door Q:
rico MQ: -10-2/6-1 = -12/5
Dus rico raaklijn door Q: 5/12
Vergelijking:
y = 5/12 x + b
Q invullen:
-10 = 5/12 * 6 + b
b = -121/2
Vergelijking:
y = 5/12 x - 121/2


Voorbeeld
Bepaal de vergelijking van de raaklijn uit P aan c.
P(-3,5) en c : x2 + y2 = 9
Oplossing
De tekening ziet er als volgt uit:

Het zou aardig zijn als we wisten wat de lengte van PQ is. Uit de tekening is het af te lezen maar bereken via bv pythagoras is ook mogelijk nl: PQ2 + QM2 = MP2
PQ2 + 9 = 34
PQ = 5
Er geldt ook dat PQ = PR = 5, dus er is een cirkel met middelpunt P en straal 5 die c snijdt in Q en R. Q en R zijn dan tevens raakpunten van de raaklijnen aan c door P.
We moeten dus eerst de cirkelvergelijking opstellen met middelpunt P(-3,5) en straal 5:
s: (x + 3)2 + (y - 5)2 = 25
Nu de snijpunten uitrekenen van c en s:
s: x2 + 6x + 9 + y2 - 10y + 25 = 25
c: x2 + y2 = 9
----------------------------------- -(vergelijkingen van elkaar aftrekken)
6x + 9 - 10y + 25 = 16
6x - 10y + 18 = 0
x = 5/3 y - 3
Deze laatste invullen in c:
(5/3 y - 3)2 + y2 = 9
25/9 y2 - 10y + 9 + y2 = 9
34/9 y2 - 10y = 0
y(34/9 y - 10) = 0
y = 0 v 34/9 y = 10
y = 0 v y = 211/17
Deze twee weer invullen in c om x te berekenen: x = -3 als y = 0
x = 17/17 als y = 211/17
Dus twee snijpunten: Q(-3,0) en R(17/17 , 211/17)

Nu moeten we de rico uitrekenen van MR:
rico MR: 0-211/17/0-17/17 = 17/8
Dus rico PR = -8/15
Raaklijnvergelijking PR:
y = -8/15 x + b
P(-3,5) invullen:
5 = -8/15 * -3 + b
b = 63/5
Vergelijking:
y = -8/15 x + 63/5

wiskunde in je pocketNoordhoff wiskunde in je pocket
Alle basiskennis van het vak overzichtelijk bij de hand in één compact minigidsje.
  • ideaal opzoekboekje voor schoolverlaters
  • handig geheugensteuntje voor scholieren
  • naslaghulp voor eindexamenkandidaten
Klik om te bestellen.