Kansen en tellen

Boomdiagram

Met statistiek moet je vaak het aantal mogelijkheden bepalen voordat je een berekening kan doen omtrent de kans op een bepaald verschijnsel. Je zou hierbij gebruik kunnen maken van een boomdiagram. Met een voorbeeld zal ik dat duidelijk maken.
Voorbeeld
Op hoeveel verschillende manieren zou jde letters a,b,c kunnen rangschikken?
Oplossing
Bekijk onderstaand boomdiagram maar eens.

Als je telt dan zie je dat er 6 mogelijkheden zijn. Bovenstaande boom wordt ook wel een faculteitsboom genoemd. Steeds een tak minder. Er komen geen herhalingen voor. Dus zonder terugleggen. Het aantal mogelijkheden is dan ook zo te tellen: 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Een andere soort is de machtsboom. Zie het voorbeeld hier onder dat gaat over het 4 keer gooien van een muntstuk.

Hier komen herhalingen wel voor. Dus met terugleggen. Steeds 2 mogelijke uitkomsten bij iedere worp. Het aantal mogelijke uitkomsten is dan nu zo te tellen 24 = 16.

Wegendiagram

In een wegendiagram worden wegen die naar hetzelfde punt leiden samengevoegd. Je vindt het aantal mogelijkheden door het aantal wegen met elkaar te vermenigvuldigen. Voorbeeld

aantal mogelijheden: 3 x 2 x 1 = 6.

Roosterdiagram

Als je moet kiezen uit twee mogelijkheden bij opeenvolgende keuzes. Bijvoorbeeld: meisje of jongen, kop of munt of alle mogelijke uitkomsten bij het gooien van twee dobbelstenen.
Bekijk onderstaand voorbeeld van het gooien met twee dobbelstenen en alle mogelijke uitkomsten:
6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
  1 2 3 4 5 6
36 mogelijke uitkomsten. Dus bv. de kans op 9 ogen is dan 4/36 = 1/9.

Permutatie

Volgorde is van belang en trekken zonder terugleggen.
= het aantal rangschikkingen van k elementen uit een verzameling van n elementen bij trekking zonder terugleggen en volgorde is van belang.
Het aantal rangschikkingen bereken je als volgt. Formule:
Voorbeeld
Bereken op hoeveel manieren je de letters a,b,c,d kan rangschikken.
Oplossing

Nog een voorbeeld:
Hoeveel verschillende 2 letter combinaties kan je maken uit de letters a,b,c,d,e?

Hoe zit het dan met een 3 letter combinatie?
Zelfde manier:

Combinatie

Volgorde niet van belang en trekken zonder terugleggen.
=het aantal rangschikkingen van k elementen uit een verzameling van n elementen bij trekking zonder terugleggen en volgorde is niet van belang.
Formule:
Voorbeeld
Je mag uit de 5 letters a,b,c,d,e er twee kiezen. Hoeveel combinatie mogelijkheden zijn er dan?
Oplossing

Driehoek van Pascal

Deze driehoek ziet er als volgt uit:

De driehoek wordt binnen de kansrekening gebruikt om het aantal combinaties uit te rekenen. Een voorbeeld: je hebt 5 verschillende kleuren waar je er twee uit mag kiezen. Hoeveel verschillende combinaties kan je maken?
Dan kijken we in rij 5 de tweede van links.
Let op dat ieder getal 1, vooraan in de rij, staat op plaats 0!!
De oplossing is 10. Zie hieronder:

Hoe breid je de driehoek nu verder uit. Elk getal in de rij is gelijk aan de som van de twee bovenliggende getallen. Kijk naar het voorbeeld hieronder.



Er zijn een paar oefeningen al beschikbaar die gaan over kansrekening. Tevens zijn de uitwerkingen ook aanwezig. Misschien heb je er wat aan.

wiskunde in je pocketNoordhoff wiskunde in je pocket
Alle basiskennis van het vak overzichtelijk bij de hand in één compact minigidsje.
  • ideaal opzoekboekje voor schoolverlaters
  • handig geheugensteuntje voor scholieren
  • naslaghulp voor eindexamenkandidaten
Klik om te bestellen.