Raaklijnen

Opgave 1
1) Om de rico te kunnen uitrekenen in een gegeven punt bereken je f '(x). Daarna gegeven punt invullen in f '(x).
Kijk hier om te zien hoe je deze functie moet differentieren.
f '(x) = 2(x - 2) - (2x + 5)
(x - 2)2
=2x - 4 - 2x - 5
(x - 2)2
=   -9   
(x - 2)2
f '(0) =    -9   
(0 - 2)2
=-9
4
=-21/4
Dus rico van de raaklijn in het punt x = 0 : -21/4
2) Hier bereken je dan f '(1):
f '(1) =    -9   
(1 - 2)2
=-9
1
=-9
Dus rico in het punt x = 1 : -9
Om een raaklijnvergelijking op te kunnen stellen heb je ook nodig de coordinaten van het raakpunt. Je moet nu dan uitrekenen: f (1).
f (1) = 2.1 + 5
1 - 2
=7
-1
=-7
Dus het raakpunt: (1,-7)
Raaklijvergelijking: y = ax + b
rico invullen: y = -9x + b
raakpunt invullen: -7 = -9.1 + b <=> b = 2
Raaklijnvergelijking: y = -9x + 2

3) De rico van de lijn is -1. Dus de vraag is voor welke x geldt f '(x) = -1
   -9    
(x - 2)2
=-1
Hieruit volgt: -1(x - 2)2 = -9 <=>
(x - 2)2 = 9 <=>
x - 2 = 3 v x - 2 = -3
x = 5 v x = -1
De y - coordinaten berkenen:
f (5) = 5 en f (-1) = -1
Dus de raakpunten (waar de raaklijn evenwijdig is aan y=-x) zijn (5,5) en (-1,-1)

In een grafiek ziet bovenstaande er als volgt uit:



Opgave 2
A is raakpunt aan f en ligt op de y-as, dus A(0,ya). Rico van raaklijn berekenen door f '(0).
f '(x) = -2e-2x
f '(0) = -2 . e-2.0 = -2 . 1 = -2
Raakpunt A: f(0) = e-2.0 = 1. Dus A(0,1)
Raaklijn: y = -2x + b, A(0,1) invullen
1 = -2 . 0 + b
b = 1
Raaklijn: y = -2x + 1
yb = 0, Invullen in raaklijn:
0 = -2x + 1
xb = ½

Opgave 3
Eerst de rico van de raaklijn uitrekenen van C in het punt (2,-2). De raaklijn van een cirkel staat loodrecht op de lijn van middelpunt naar raakpunt. Middelpunt cirkel:
x2 + 4x + y2 - 16 = 0
(x + 2)2 - 4 + y2 - 16 = 0
(x + 2)2 + y2 = 20
Dus M: (-2,0)
Rico MC
y2 - y1 =
x2 - x1
0 - -2 =
-2 - 2
-1
2
Dus rico raaklijn aan P: -½
Raaklijnvergelijking: y = -½x + b
Raken met P dus raaklijnvergelijking substitueren in vergelijking P
(-½x + b)2 + 2x - 8 = 0
¼x2 - xb + b2 + 2x - 8 = 0
¼x2 + (-b + 2)x + b2 - 8 = 0
Daar raaklijn en P raken moet gelden: D(iscrminant) = 0
D = b2 - 4ac
a = ¼, b = (-b + 2), c = b2 - 8 invullen in D:
(-b + 2)2 - 4.¼.(b2 - 8) = 0
b2 - 4b + 4 - b2 + 8 = 0
-4b = -12
b = 3
Raaklijnvergelijking:
y = -½x + 3
Voor de duidelijkheid zie je hieronder de tekening van de situatie

wiskunde in je pocketNoordhoff wiskunde in je pocket
Alle basiskennis van het vak overzichtelijk bij de hand in één compact minigidsje.
  • ideaal opzoekboekje voor schoolverlaters
  • handig geheugensteuntje voor scholieren
  • naslaghulp voor eindexamenkandidaten
Klik om te bestellen.