Complexe getallen

Ooit leerde je dat kwadraten nooit negatief konden zijn.
Maar stel je voor dat dat wel kan. Dat er een getal is waarvoor geldt dat het kwadraat daarvan -1 is. Als we dat getal i (van imaginair) noemen dan geldt i2 = -1 en dus:
i = Ö-1

Ö-1 = i
Ö-2 = Ö-2i (want:Ö-2i · Ö-2i = Ö4i2 = 2 · -1 = -2)
Ö-3 = Ö-3i (want:Ö-3i · Ö-3i = Ö9i2 = 3 · -1 = -3)
Ö-4 = -2i (want:-2i · -2i = 4i2 = 4 · -1 = -4)

Een complex getal kun je schrijven in de vorm van ax + bi waarbij a en b reële getallen zijn.
a noem je het reële deel en b het imaginaire deel van het complexe getal.
Voorbeelden zijn: 2 + i, 1 - 2i etc.

Optellen van complexe getallen

Zoals je gewend bent:
2 + 2i + 3 - i = 2 + 3 + 2i - i = 5+ i
-1 - 3i + 3 + i = -1 + 3 -3i + i = 2 - 2i

Vermenigvuldigen van complexe getallen

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci - bd
Voorbeeld
Bereken:
a) (2 + i) · (-1 - i)
b) (-3 - i) · (3 + 2i)
Oplossing
a) (2 + i) · (-1 - i) = -2 - 2i - i - i2 = -2 - 3i - -1 = -1 - 3i
b) (-3 - i) · (3 + 2i) = -9 - 6i - 3i - 2i2 = -9 - 9i + 2 = -7 - 9i

Delen van complexe getallen

Neem twee complexe getallen bv: a + bi en c + di en deel die op elkaar:
complex getal
Vermenigvuldig de noemer dan met cx - di
Dat geeft als voordeel dat je in de noemer een getal overhoudt namelijk:
(cx + di) · (cx - di) = c2 - cdi + cdi - d2i2 = c2 + d2
Voorbeeld
Bereken:

Oplossing

Worteltrekken uit complexe getallen

Öa + bi is zelf ook weer een complex getal: c + di. Dus bijvoorbeeld:
Ö3 + 4i = c + di
Dat laatse zou je kunnen oplossen:
3 + 4i = (c + di)2
3 + 4i = c2 - d2 + 2cdi
Hieruit volgt:
I: c2 - d2 = 3 en
II: 2cd = 4 ⇔ cd = 2 ⇔ d = 2/c
d = 2/c invullen in I
c2 - 4/c2 = 3 Alle termen vermenigvuldigen met c2
III: c4 - 4 = 3c2
Stel c2 = x invullen in III
x2 - 4 = 3x
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
x = 4 of x = -1 beide weer invullen voor c2 = x
c2 = 4 of c2 = -1
c en d moeten zelf reële getallen zijn dus c2 = -1 is geen opossing.
Je houdt over: c2 = 4 dus
c = 2 of c = -2 Invullen in II:
Als c = 2 dan d = 2/2 = 1
Als c = -2 dan d = 2/-2 = -1
Conclusie:
Ö3 + 4i = 2 + i of Ö3 + 4i = -2 - i

Er zijn sommen met uitwerkingen beschikbaar.

wiskunde in je pocketNoordhoff wiskunde in je pocket
Alle basiskennis van het vak overzichtelijk bij de hand in één compact minigidsje.
  • ideaal opzoekboekje voor schoolverlaters
  • handig geheugensteuntje voor scholieren
  • naslaghulp voor eindexamenkandidaten
Klik om te bestellen.