Complexe getallen

Ooit leerde je dat kwadraten nooit negatief konden zijn.
Maar stel je voor dat dat wel kan. Dat er een getal is waarvoor geldt dat het kwadraat daarvan -1 is. Als we dat getal i (van imaginair) noemen dan geldt i² = -1 en dus:
i = Ö-1

Ö-1 = i
Ö-2 = Ö-2i (want:Ö-2i · Ö-2i = Ö4i² = 2 · -1 = -2)
Ö-3 = Ö-3i (want:Ö-3i · Ö-3i = Ö9i² = 3 · -1 = -3)
Ö-4 = -2i (want:-2i · -2i = 4i² = 4 · -1 = -4)

Een complex getal kun je schrijven in de vorm van ax + bi waarbij a en b reële getallen zijn.
a noem je het reële deel en b het imaginaire deel van het complexe getal.
Voorbeelden zijn: 2 + i, 1 - 2i etc.

Optellen van complexe getallen

Zoals je gewend bent:
2 + 2i + 3 - i = 2 + 3 + 2i - i = 5+ i
-1 - 3i + 3 + i = -1 + 3 -3i + i = 2 - 2i

Vermenigvuldigen van complexe getallen

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + adi + bci - bd
Voorbeeld
Bereken:
a) (2 + i) · (-1 - i)
b) (-3 - i) · (3 + 2i)
Oplossing
a) (2 + i) · (-1 - i) = -2 - 2i - i - i² = -2 - 3i - -1 = -1 - 3i
b) (-3 - i) · (3 + 2i) = -9 - 6i - 3i - 2i² = -9 - 9i + 2 = -7 - 9i

Delen van complexe getallen

Neem twee complexe getallen bv: a + bi en c + di en deel die op elkaar:

Vermenigvuldig de noemer dan met cx - di
Dat geeft als voordeel dat je in de noemer een getal overhoudt namelijk:
(cx + di) · (cx - di) = c² - cdi + cdi - d²i² = c² + d²
Voorbeeld
Bereken:

Oplossing

Worteltrekken uit complexe getallen

Öa + bi is zelf ook weer een complex getal: c + di. Dus bijvoorbeeld:
Ö3 + 4i = c + di
Dat laatse zou je kunnen oplossen:
3 + 4i = (c + di)²
3 + 4i = c² - d² + 2cdi
Hieruit volgt:
I: c² - d² = 3 en
II: 2cd = 4 ⇔ cd = 2 ⇔ d = 2/c
d = 2/c invullen in I
c² - 4/c² = 3 Alle termen vermenigvuldigen met c²
III: c⁴ - 4 = 3c²
Stel c² = x invullen in III
x² - 4 = 3x
x² - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
x = 4 of x = -1 beide weer invullen voor c² = x
c² = 4 of c² = -1
c en d moeten zelf reële getallen zijn dus c² = -1 is geen opossing.
Je houdt over: c² = 4 dus
c = 2 of c = -2 Invullen in II:
Als c = 2 dan d = 2/2 = 1
Als c = -2 dan d = 2/-2 = -1
Conclusie:
Ö3 + 4i = 2 + i of Ö3 + 4i = -2 - i

Er zijn sommen met uitwerkingen beschikbaar.

Noordhoff wiskunde in je pocket Alle basiskennis van het vak overzichtelijk bij de hand in één compact minigidsje. ideaal opzoekboekje voor schoolverlaters handig geheugensteuntje voor scholieren naslaghulp voor eindexamenkandidaten Klik om te bestellen.