Binaire stelsel

Het tientallig of decimaal stelsel is wel bekend. Het bestaat uit de cijfers 0 tot en met 9. En het werkt met grondtal 10. Zo kun je bijvoorbeeld het getal 243 schrijven als: 3 . 100 + 4 . 101 + 2 . 102 = 3 + 40 + 200.
Het binaire of tweetallig stelsel kent maar twee getalen: 0 en 1. Alle getallen worden alleen in 0-en en 1-en uitgedrukt.
Het eerste binaire getal is 0 en daarna 1. Mogelijkheden zijn nu op dus het volgende getal wordt 10 daarna 11. Ook nu zijn de mogelijkheden op dus het volgende getal wordt 100 dan 101 en 110 en 111. Ook nu geen mogelijkheden meer dus het volgende getal wordt 1000 dan 1001, 1010, 1011 etc.
Uitgewerkt
Binair Decimaal Binair Decimaal
1 1 1011 11
10 2 1100 12
11 3 1101 13
100 4 1110 14
101 5 1111 15
110 6 10000 16
111 7 10001 17
1000 8 10010 18
1001 9 10011 19
1010 10 10100 20
Computers rekenen in het binaire stelsel. Decimale cijfers worden daarvoor omgezet naar het binaire stelsel. Hoe gaat die omzetting in zijn werk?

Decimaal naar binair

Hoe schrijf je 116 als binair getal?
Bekijk onderstaande tabel:
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
20 256
26 = 64 is de grootste die in 116 past. Hou je over: 116 - 62 = 52
25 = 32 is de grootste die past in 52. Over: 52 - 32 = 20
24 = 16 is de grootste die past in 20. Over: 20 - 16 = 4
22 = 4. Over 4 - 4 = 0
Dus 116 binair geschreven: 1110100.
Met onderstaande velden kun je zelf omrekenen
Decimaal naar binair
Decimaal
Binair
 

Microsoft Excel heeft een formule voor het omrekenen van binair naar decimaal: DEC.N.BIN()
PHP kent de formule: bindec().

Binair naar decimaal

Je hoeft alleen rekening te houden met de 1 die voorkomt in het binaire getal.
Het meest rechtse getal in het binaire getal noemen we positie 0.
Gebruik bovenstaande tabel en tel de overeenkomstige decimale getallen op.
Voorbeeld
Stel je hebt het binaire getal 011001. Hoe reken je dan het decimale getal uit?
Oplossing
Rechts beginnen daar staat een 1 (positie 0) dus 20 = 1
Volgende 1 staat op positie 3 dus 23 = 8
Volgende 1 staat op positie 4 dus 24 = 16
Opgeteld: 1 + 8 + 16 = 25
Met onderstaande velden kun je zelf omrekenen
Binair naar decimaal
Binair
Decimaal
 

Microsoft Excel kent heeft een formule voor het omrekenen van binair naar decimaal: BIN.N.DEC()
PHP kent de formule: decbin().

Binair optellen

In het decimale stelsel als volgt:
17
25 +
42
Uitgewerkt: 7 + 5 = 12, 2 opschrijven 1 onthouden.
1 + 1 + 2 = 4
In het binaire stelsel krijg je ook zoiets.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0, 0 opschrijven 1 onthouden
=>Of in decimaal: 1 + 1 = 2, in binair is dat 10 dus 0 opschrijven 1 onthouden
1 + 1 + 1 = 1, 1 opschrijven 1 onthouden
=>Of in decimaal: 1 + 1 + 1 = 3, in binair is dat 11 dus 1 opschrijven 1 onthouden 1 + 1 + 1 + 1 = 0, 0 opschrijven 10 onthouden
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1, 1 opschrijven 10 onthouden

Voorbeeld
Tel de volgende binaire getallen op: 1000, 1001, 1010, 1101 en 0001.
Oplossing
Binair Decimaal =
1000 23 = 8
1001 23 + 20 = 9
1010 23 + 21 = 10
1101 23 + 22 + 20 = 13
0001 + 20 = 1 +
101001 25 + 23 + 20 = 41

Binair vermenigvuldigen

0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 1 = 1
Voorbeeld
Vermenigvuldig de volgende binaire getallen: 1011 en 101.
Oplossing
  1011
   101 x
  1011
 00000
101100 +
110111
Ter controle:
1011 in decimaal: 11 en 101 in decimaal 5
11 . 5 = 55, 55 = 32 + 16 + 4 + 2 + 1 dus binair: 110111

Binair delen

Voorbeeld
Deel de volgende binaire getallen: 110111 en 101.
Oplossing
101 /110111\ 1011
     101
      0111
       101
        101
        101
          0
Ter controle:
110111, decimaal 55
101, decimaal 5
1011, decimaal 11
55 : 5 = 11

Negatieve binaire getallen

In het decimale stelsel geven we een negatief getal met een - aan. In het binaire stelsel kan dat niet. Om toch negatieve getallen weer te geven is er een afspraak gemaakt: (2 complement)
- Neem de binaire voorstelling van het positieve decimale getal.
- Draai alle 1-en 0-en om.
- Tel er 1 bij op.

Voorbeeld
Schrijf -6 als binair getal
Oplossing
6 wordt binair: 0110
Omdraaien: 1001
1 erbij tellen: 1001 + 1 = 1010
Aanvullen tot 8 bits waarbij de meest linkse bit het teken aangeeft: 1 staat voor negatief, 0 voor positief.
-6 wordt dan: 1111 1010. Controle
-(27) + 26 + 25 + 24 + 23 + 21 =
-128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 = -6
Voor 4 bits lopen de getallen tussen:
Meest linkse bit geeft postief of negatief aan!
0111 = 7 
0110 = 6 
0101 = 5 
0100 = 4 
0011 = 3 
0010 = 2 
0001 = 1 
0000 = 0 
1111 = -1 
1110 = -2 
1101 = -3 
1100 = -4 
1011 = -5 
1010 = -6 
1001 = -7 
1000 = -8
Voor 8 bits lopen de getallen tussen:
Meest linkse bit geeft postief of negatief aan!
0 111 1111 = 127
0 111 1110 = 126
..
0 000 0010 = 2
0 000 0001 = 1
0 000 0000 = 0
1 111 1111 = -1
1 111 1110 = -2
..
1 000 0001 = -127
1 000 0000 = -128

Binaire aftrekken

NA het behandeln van negatieve getallen kunnen we gaan kijken naar binaire aftrekkingen.
In het decimale stelse uitrekenen: 25 - 12. Dit is hetzelfde als 25 + - 12. Zou je dit binair moeten doen dan ga je dus als volgt te werk:
25 binair = 1101

wiskunde in je pocketNoordhoff wiskunde in je pocket
Alle basiskennis van het vak overzichtelijk bij de hand in één compact minigidsje.
  • ideaal opzoekboekje voor schoolverlaters
  • handig geheugensteuntje voor scholieren
  • naslaghulp voor eindexamenkandidaten
Klik om te bestellen.